一般信號可以從兩種觀點來看, 一者是從Frequency Domain來看, 信號有如頻譜分析儀上所見, 橫軸為頻率, 縱軸反應該信號在此頻點上的振幅, 另一者是從Time Domain來看, 信號如示波器上所見, 橫軸為時間, 縱軸反應該信號在此時間點的振幅, 透過Fourier Transform可以將信號在這兩個Domain間做轉換
為了討論信號在系統中不同的響應, 所以通常會把信號拆解成幾個簡單信號的組成, 如此, 當我們了解系統對這些簡單信號的響應時, 也就進而可以得知組合信號的響應了
傅利葉級數告訴我們, 在特定條件下, 周期為T的周期性信號可以用一系列的Sin及Cos函數所表示
但是實務上並非所有信號皆為周期性, 不過我們可以想像將在T時間內非周期性的信號轉換為周期為T的周期性信號, 如此則所有信號皆可虛擬轉換為周期性信號
利用下列三角函數等式
再定義
一般信號的傅利葉級數複數表示式可為
將傅利葉級數一般化後即為傅利葉轉換
Fourier Transform定義為(將Time Domain轉為Frequency Domain)
Inverse Fourier Transform定義為(將Frequency Domain轉換為Time Domain)
FFT則是採用較快速(Divide-and-Conquer)的方法得到計算結果
If the input (time domain) signal, of N points, is x(n) then the frequency response X(k) can be calculated by using the
第一次拆解時可以將偶數時間抽樣點與奇數時間抽樣點值分開處理, 如此使得需處理的Sample數降為2個N/2
當N=8時, 最後拆解結果則如下
Source: http://grus.berkeley.edu/~jrg/ngst/fft/fourier.html
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